雪江明彦「代数学I,II,III」第２版。
第１版に関するコメントはochiai/yukie12。第１版と第２版でページ数がずれてしまっているので、そちらのコメントで引用したページ数や定理番号を第２版用に書き直すのが面倒なので別のページとする。
- I, p60, 命題2.9.2 の証明を見ると次の定理が証明されていることがわかる：「
$G$ が群、$H,K \subset G$ が正規部分群で $H \cap K = \{ 1_G \}$ とする。写像 $\phi: H \times K \to G$ を $\phi(h,k) =hk$ と定義する。この時、$\phi$ は単射群準同型である。」
- I. p141, 問題1.2.1 の解答例。間違ってはいないのだが、この設定だと$S$ が空でなければ、「$x-y$を$5$ で割った余り」に必ず$0$ が現れるから($x=y$ とすれば良い)、「各$S$ に対して$0$ を対応させる写像」となっているかどうか、という問題を扱っていることになっている。
- I. p142, 問題2.3.8(1)。それで正しいけれど、巡回群は可換、三次対称群は非可換。という理由づけもありえる。
- II. p186.問題3.4.6 の解答。それで正しいのだが、line -2 の後半 $g(x) \equiv 1 \mod (x)$ から $g(x) \in k[ [x] ]^\times$ がわかるので、
$k[ [x] ] = k[ [x g(x)] ]$, $k[ [x,y] ]=k[ [x g(x),y] ]$ となる。
p187, line 2 のように $u,v = y \mp x g(x)$ とすれば、$k[ [x g(x), y] ] =k[ [u,v] ]$.
このように１変数の変数変換の場合は、本格的なヤコビアンの計算はしなくても良い。
- II*. p220, 問題3.1.6。「$a_1$ が $n$ と互いに素なら」を(1)から出して、リード文の中に入れる。そうすると(1) で「(2)の状況で」も不要になる。
- II*. p235, 脚注１。ダメ押しをしておくと「$x_1 x_2$ は交代式とは呼ばない」。
- II, p250, 系4.5.12, ２行目。$\mathbb{Z}/3/\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
- II*. p302, 補題4.18.3 の証明。４行目。この式で定義される $x,y$ が実数であることがポイント。$x,y \in \mathbb{R}$ と書いておきたい。
４行目の式の末尾のカンマは不要。
- II. p302, 補題4.18.3 の証明。
６行目から背理法が始まるが、背理法を用いないで証明できている。すなわち、
「$\mathbb{C}$ が代数閉体ではないとして矛盾を導く。」「$d=[L:\mathbb{R}]$ が2のべきでないとして矛盾を導く。$d$ が奇素数 $p$ で割り切れるとする。」を削除。
「の位数も$p$ で割り切れる。」を「とする。」に変更。「$p$ で割り切れる。よって $m\gt 1$である。」を削除。「既約だが、これは補題4.18.2 に矛盾する。」を「既約なので、補題4.18.2 より $m=1$ となる。」に変更。「したがって、」の直後に「$[\tilde{L}:\mathbb{R}]$ は２のべきであり、」を挿入。「$[L:\mathbb{R}]$ は２のべきだが、」を「$[L:\mathbb{R}]$も２のべきであり、」に変更。「$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ なので、」を削除する(不要なので)。
- II. p309, 問題4.9.1(1) $a$ の定義の冪がなぜこの順序なのだろう。
$a=\zeta+\zeta^2+\zeta^4+\zeta^8+\cdots+\zeta^9$ の方が規則性がわかりやすい。
- II*. p309, 問題4.10.1 の答え(p328)。このままだと $\sqrt{14} \times \sqrt{10}=2 \sqrt{35}$ なので答えが$8$になりそう。おそらく問題が正しくないのでは？
- II. p329. 当たり前のことをメモしておくと、問題3.1.15(1) で $x=t-t^2$ を代入すると、$x^3+9x+6=(t^3-3)((1-t)^3-3)$.
問題3.1.19 の答 $(x^3 + 6 x - 2)^2 - 2 (3 x^2 + 2)^2=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4$ に $x=t^2+t^3$ を代入すると $t^6-2$ で割り切れる。
- II, p336, 索引の随伴行列の英訳。adjoint.
$A^*$ と紛らわしいため、adjugate を用いることもある。
- II, p338, 「非斉次」は索引の項目に立っていない。
したがってその英訳も与えられていない。
- III, p231, 問題4.2.2(2) $x_1 y_1$ が２つあるのを $2x_1 y_1$ とまとめないことに
何らかの意味があるのだろうか？
- III, p444, 問題2.4.2(3). このページの下から６行目で、定理2.4.2 に沿った
変数変換がなされているが、
変数変換で $s_4=t_4-t_1$ だけを施して $t_2,t_3$ は元のまま変更しないとすると、
$t_1 t_4^2 - t_2 t_3^3 = t_1 (t_1+s_4)^2 - t_2 t_3^3$ となり、
これは $k[t_2,t_3,s_4]$ を係数とする $t_1$ に関する monic な三次式なので、
$t_1$ は $k[t_2,t_3,s_4]$ 上で整であることが見やすい。
まあ大差ないけど。
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