教科書「線形代数講義」（南和彦）へのコメント
- 1. 行列
- 1.1. 行列の定義、和と定数倍
- 1.1.1. 行列を定義する p1
- 1.1.2. 行列の和とスカラー倍 p4
- 1.1.3. 特別な行列 p5
- トレース、単位行列、上三角行列、下三角行列、対角行列、可換群と線型空間。成分に関するコメント
- p6 クロネッカーのデルタ。２入力１出力。
- 練習問題 1.1. p9
- 1.2. 行列の積
- 1.2.1. 行列の積 p9
- 一次変換、確率行列、可換、零因子、積の満たす性質
- 定理1.1(p14) の「自明」の証明。定理1.2(p16)の「自明」の証明。成分を比較する。ビデオ。
- 1.2.2. 特別な行列2 p15
- 1.2.3. 行列の分割 p17
- 例題1.7(p20) は分割と関係している。他は分割と直接関係していない話題が多い。
- 可換な行列、行列の多項式、回転行列と三角関数の加法定理、トレース形式が非退化であること
- 例題1.4(p18). 結果の解釈。結論の式 $x-y+2=0$ が成り立つ時、$X=(x-1)E+A$ となる。
- 例題1.5(p19). 結果の解釈。得られた行列は、順に $B,4E-3B, 3B-4E, -B$ となっている。なお、$f(x)=x,4-3x,3x-4,-x$ の $x=1$ での値はそれぞれ $1,1,-1,-1$ であり、$x=-1$ での値はそれぞれ $2,-2,2,-2$ である。
- 例題1.9(p21) p12 と p21で行と列の役割が逆になっているのがわかりづらい。また、(1) の解の成分が $1/n$ となっているが、$1$ にした方が意味が相応しいように思われる。（この $\mathbf{x}$ は確率ベクトルではないので、成分の総和を $1$ にすることの意味が発生しないので。むしろ条件式 $\displaystyle \sum_{j} a_{ij}=1$ に直結するには $1$ の方が良い。
- 練習問題 1.2-1.20 p22-24
- 問題 1.4. 可換な場合(1)(2)(3)(6)の結果の解釈。(2) $A=E+a E_{12}$, $B=E+b E_{12}$. ここで $E_{ij}$ はp22, line 5に現れている行列で「行列単位」と言います。(3) $B=2A+E$. (6) $B=2E-A$. 一般に、「実数 $p,q,r,s$ に対して、行列 $pE+qA$ と $rE+sA$ は可換」。特に、$r=0,s=1$ とすれば、「$pE+qA$ と $A$ は可換」という補題が成り立つ。問題1.9 でもこれを使うことができる。
- 問題 1.5(p22) ビデオ。
- 問題 1.6(p23) どこまで計算したら結果なのかが判断しづらい問題が多い。プリント。
- 問題 1.7. (1) 可換である時の結果の解釈。$B=cA+(c+d)E$.
- 問題 1.8. (2)を先に、(1) を後にするのが良さそう。
- 問題 1.13. $l$ 乗も求まる。(右下の行列のサイズと冪が一致していることは使わない。)
- 問題 1.16(p24)(2) 特別な $A$ に対しては、$A^n$ が交代行列となるような自然数 $n$ は増えうるが、そこまでの議論は期待されていない問題だと思う。例えば、４次交代行列 $A=\left(
\begin{array}{l} \hskip1cm 0 \hskip1cm 2 \hskip1cm i (s+t) \hskip1cm s-t \\ -2 \hskip1cm 0 \hskip1cm i (s-t) \hskip1cm s+t \\ -i (s+t) \hskip3mm -i (s-t) \hskip1cm 0 \hskip1cm 2 i \\ t-s \hskip1cm -s-t \hskip1cm -2 i \hskip1cm 0 \end{array} \right)$ で $s=1/t$ の場合は、($A^3=O$ なので) 「３以上の自然数」が正解になる。
- 1.3 行列の正則性と逆行列
- 1.3.1. 行列の逆行列 p25
- 練習問題 1.21-1.24 p29
- 2. 基本変形
- 2.1. 行列の基本変形
- 2.1.1. 連立方程式と基本変形 p30
- 2.1.2. 基本行列（基本変形を生成する) p32
- 2.1.3. 同値関係 p34
- 2.1.4. 逆行列であるための条件 p35
- 練習問題 2.1-2.3 p38
- 2.2. 行列の階数
- 2.2.1. 階数を定義する p38
- 2.2.2. 階数、基本変形と逆行列 p42
- 練習問題 2.4-2.8 p45
- 問題2.8(2) この解答で使われている「小行列の階数は元の行列の階数以下である」という補題を準備しておくと良い。
- 2.3. 連立一次方程式
- 2.3.1. 連立一次方程式 p46
- p48-49 で$r$ 行より下に$0$ でない成分 $\beta_{r+1},\ldots,\beta_m$ が残る場合、さらに基本変形を続けて $\beta_{r+1}=1$, $\beta_
{r+2}=\beta_{r+3}=\cdots=\beta_n=0$ のようにするのが普通である。この時、$\mbox{rank}\tilde{A}=\mbox{rank}A+1$ となっている。(p49 の $\mbox{rank}\tilde{A}\gt \mbox{rank}A$ よりも強い主張。)
- 2.3.2. 斉次(同次)方程式 p49
- 練習問題 2.9-2.13 p55
- コラム LU 分解 p56
- 3. 行列式
- 3.1. 行列式
- 3.1.1. 置換とその符号 p57
- 3.1.2. いくつかの例 p62
- 3.1.3. ２次の行列式 p63
- 3.1.4. ３次の行列式 p64
- 3.1.5. $n$次の行列式 p65
- コラム 行列式と関孝和 p67
- 練習問題 3.1-3.2 p68
- 3.2 行列式の性質 その１
- 3.2.1. 転置行列の行列式、交代性、基本的な性質 p68
- コラム 行列式の公理的な定義 p72
- 3.3. 行列式の性質 その2
- 3.3.1. 積の行列式、行列式の展開 p73
- 練習問題 3.3-3.7 p79
- 問題3.3(3) 第４行に第１行を足してみると。。。
- 問題3.4(3) では問題3.6 を使うこともできる。
- 余因子展開 p79
- 3.4.1. 符号に関する準備 p80
- 3.4.2. 行列式の展開公式 p81
- 練習問題 3.8-3.11 p87-88
- 3.5. 逆行列、Cramer の公式、特殊な行列式
- 3.5.1. 逆行列 p88
- 3.5.2. 連立１次方程式の解の公式 p91
- 3.5.3. 小行列式 p92
- 3.5.4. いろいろな行列式 p93
- p95 の中程の式。$A=\begin{pmatrix} a_1 \hskip5mm a_2 \hskip5mm a_3 \\ a_3 \hskip5mm a_1 \hskip5mm a_2 \\ a_2 \hskip5mm a_3 \hskip5mm a_1 \end{pmatrix}$, $P=\begin{pmatrix} 1 \hskip5mm 1 \hskip5mm 1 \\ \omega_1 \hskip5mm\omega_2 \hskip5mm \omega_3 \\ \omega_1^2 \hskip5mm \omega_2^2 \hskip5mm \omega_3^2 \end{pmatrix}$,
$\Lambda= \begin{pmatrix} a_1+\omega_1 a_2+\omega_1^2 a_3 \hskip5mm 0 \hskip5mm 0 \\ 0 \hskip5mm a_1+\omega_2 a_2+\omega_2^2 a_3 \hskip5mm 0 \\ 0 \hskip5mm 0 \hskip5mm a_1+\omega_3 a_2+\omega_3^2 a_3 \end{pmatrix}$ とすると、line 9-10 の行列の等式は $AP=P\Lambda$ となる。(p202 のあたりで再登場する。) この式の両辺の行列式を考えると、$\det A \det P = \det P \det \Lambda$ となる。教科書では $\det P \neq 0$ なので $\det A=\det \Lambda$ を得ている。
- 練習問題 3.12-3.17 p97-98
- 問題3.12. $A$ が正則行列の時の証明がポイント。$A$ が正則行列でない時にどうするかも小ポイント。後半は教科書の解答(p342)には詳述されていない。
ノートを取る技術。板書されていないことのノートの取り方。理解していないことをノートして後での理解に役立てる。写真、動画、録音の活用。教科書や配布資料の活用。データ整理。
レポートの書き方、報告書の書き方、証明の書き方。読み手がわかっているかどうか。
用語の定義、概念の把握、概念の創造。「明らか」の証明を書く技術。induction と reduction。補題の活用。line-by-line。基本では、一つの変形では一つのことを。（取って投げる、トラップして蹴る、左手だけ。） Dedekind の切断。
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