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証明を書き下す練習：
問題1：全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ を具体的に与えよ。
問題1-2: 連続全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ は存在するか。
問題1-3: 連続全単射 $f:[0,1)\to[0,1]$ は存在するか。 (問題1-2 に対するエレガントな解法を知らせてきた学生がいたので、それを封じるために改題。）
問題2：$\displaystyle 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ の値を求めよ。 (高校の教科書の学習範囲でできる解法を知らせてきた学生がいて、驚愕した。）
問題3: 位数2023の群は可換か？
問題4: 微分可能な関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ に対して、$f'$ の像は区間か？
問題5: $n$ 次実正方行列 $A$ に対して、$B=A^n$ とすると、$\mathbb{R}^n = \mbox{Im} B \oplus \mbox{Ker} B$.
問題6: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ が収束すれば、$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ も収束する。
問題7: 連続関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) =0$ を満たすならば、$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac1x \int_0^x f(t) dt=0$ である。
問題8: ２次実正方行列 $A$ が「２次実正方行列$B$ を用いて $A=B^2$ とは書けない」ための必要十分条件を求めよ。
問題9: 関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は任意の実数 $x,y$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たし、しかも $f(1)=0$ であるとする。(a) $f:C^1$ ならば $f=0$ であることを示せ。(b) $f$ が連続ならば $f=0$ であることを示せ。(c) $f$ がルベーグ可測であれば $f=0$ であることを示せ。
問題10: 実正方行列$A$ が「ある実正方行列 $B$ を用いて $A=B^3$ と書ける」ための必要十分条件を与えよ。
問題11: $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を自然数全体の間の全単射とする。$a_n \ge 0$ が全ての$n$ について成り立つとする。この時、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty a_{f(n)}$.
