ochiai/LieGroupsRepnTheory の履歴(No.6)

小林俊行・大島利雄「リー群と表現論」岩波書店

セミナーをした上での注意点
p12, line 4. 「複素シンプレクティック群」英訳はここにはなく、page 309 に。また、索引には、page 302 のみが挙げられているが p12 も挙げておくと便利。なお、索引 page 602 には symplectic という項目がない。
p12, line-5から -2 の説明。 $Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が、ここのやり方で線形空間の構造を持つこと、および部分集合 $Hom_G(V,W) \subset Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が線形部分空間になること、の２つの事柄の統合として説明できる。
p13, line -7, GL(W). GL という記号は初出。page 10から、ここまでは GL_{\mathbb{C}} と書いている。略記することを述べておく方が安全。
p18, line -6「等長全射であって、かつ、全単射」？等長だとしたら単射は自動的なので、全単射は不要では？ここの文脈で丁寧に言うのであれば、前文をふまえて、「等長な線形全射」と言っておく。
p19 定義 1.32 の後半。後半でも群 G は「位相群」を仮定しているのだと思われる。page 28, Remark 1.46 はどうか。
p 20 命題 1.36. ここで完備化で構成された「Hilbert 空間」が可分かどうかは明白でない。(c.f. page 18, line 11 のconvention との関係。）
p31, なかほど「そのスカラーを $C_j$ とおくと」の直後に、まず、 $p_j \circ q = C_j id_W$ を書いておきたい。
p31, その直後の「少なくとも一つの」は不要。既に上でそのような $j$ を選んでいる。また、説明としては、「 $W_0 \neq \{ 0\}であるから」というよりは、「$ p_j \vert_{W_0} \neq 0 $と$ j$ を選んだので」。
p31, その直後。 $\Phi=\sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j$ なので、 $\Phi\circ q = \sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j \circ q = \sum_{j=1}^m C_j \Phi_{i_j}$ . ( $w \in W$ を持ち出す必要がない。）
p31, line -4 と -3 の間：いったん $v=\sum_{k=1}^d \Psi_k(w_k)$ を書いておいてから、 $\pi(g)v$ の計算に入りたい。(こうすると $\Phi_{i_j}$ はもう２度と登場しない。) $\pi(g) v = \sum_{k=1}^d \Psi_k(\pi(g) w_k) \in \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$ , したがって、 $\sum_{g \in G} {\mathbb{C}} \pi(g) v \subset \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$ . ここから、line -1 に続く。
p52, line -11. ${\mathbb{C}}^\times \sim GL(1,{\mathbb{C}})$ と書かれているが、 ${\mathbb{C}}^\times=GL(1,{\mathbb{C}})$ であろう。p10, line -3 の定義より。
p57, 定理 2.6(iii) ここでいう環準同型は単位元を単位元に写す写像ではない。