- p18, line -3 でユークリッド線形空間を導入した時は内積が $\mathcal{F}(\cdot,\cdot)$ と書かれていたが、p22, line 2 では内積を $(\cdot \vert \cdot)$ と表す、と宣言されている。この２つは同じもの？
- p29, line 10. 「採れる」。取れる、かな。
- p33, 例2.3. $[q_m,q_n]=0, [p_m,p_n]=0$ を追加。
- p41, (2.12). $i$ の定義の $E_{11}+E_{22}$ は $E_{11}-E_{22}$.
$k$ の定義の $E_{11}+E_{22}$ は $E_{12}+E_{21}$. 例2.13 を見よ。
- p45, 註2.3, line 2. 「無限次元」。$M$ が有限集合の場合は $\mathfrak{X}(M)$ は有限次元。$M$ が無限集合の場合に$\mathfrak{X}(M)$ は無限次元。
- p46, line 1. 「部分リー環」だと、正しいが文意が数学的にナンセンスになるので、「部分線形空間」。
- p47, 例2.12 の中程の論理。$f$ の定義の直後に２つの命題「P: $f$ はリー環同型写像である」「Q: $f(x) y = x \times y$」が述べられている。本文の順序だと、「PとQは論理的には無関係」、あるいは、
「P が Q を示す時の助けになる」、のどちらかを示唆するのだが、実は、
「Q が P を示す時の助けになる」のではないだろうか。P と Q を逆順に書いた方が良いように思う。
- p48, 例2.13の$J_2$ の式の最右辺の分子の i は 1.
- p49, 命題2.2 の反例。$n=1, K=\mathbb{R}, A=1, B=-1$ とすると$\mathfrak{g}(A;K) = \mathfrak{g}(B;K)=K$ なので、リー環として同型であるが、$P$ は存在しない。
- p49, 命題2.2 の反例。 $n=2$, $A=\begin{pmatrix} 1 \ \ 1 \\ -1 \ \ 1 \end{pmatrix}$, $B$ を単位行列とすると、$\mathfrak{g}(A;K) = \mathfrak{g}(B;K)=\mathfrak{o}(2,K)$ となるが、$P$ は存在しない。
- p50, 命題2.2の証明。必要条件の証明がない。
（省略するのは差し支えないのだが、証明を省略したことに言及した方がベター。）
- p50, 定義2.4 の２行目。$\mathbb{V}$ と V が混在。
- p51, 問題2.3の３行目。４つの式がカンマで区切られている。
第１式と第２式、第２式と第３式の間には空白がある。
第３式と第４式の間にも同じぐらいのスペースを入れたらどうだろう。
$f$ と $k$ の間。
- p54, line 1. 可換リー環は「１次」可解リー環では？
- p54, line 3. $\mathbb{R}$ で議論しているが、この節のこれまでのように $\mathbb{K}$ でよい。
- p54, line 11. $D_{i+1}\mathfrak{g}$ の定義の右辺、
$[D\mathfrak{g}, D_{i}\mathfrak{g}]$ は $[\mathfrak{g}, D_{i}\mathfrak{g}]$.
- p55, 問題2.7 の「核」と「Ker $f$」の間のカンマは必要か？
- p55, 問題2.8 の最後の行の右辺。$=\in$ は $\in$.
- p56, line -5 に「随伴表現」が出てくるので、初出はどこかな、と索引を引くと p76 が指定されている。この時点で既出？あるいはもう一冊の本を参照する？
- p56, line -5. GL$(\mathbb{V})$ は GL$(\mathfrak{g})$かな？
- p56, line -4 の右辺 $e^{-tY}$ は $e^{-tX}$.
- p56, line -2. これで正しいが、余白があるので
$[X,Y]=\mbox{ad}(X)Y$ と追記しておきたい。
- p57, line 6。ちょっと意味が取れない。$\exp(t[X,Y]) \in G$ であろうから、$\exp(s(G$ の元)) という式になっている。しかし、exp の中には$G$ の元ではなくて $\mathfrak{g}$ の元が入るのでは？それを受けて、line 9 も。
- p58, 命題2.4. $G=O(2)$ とするとどうだろうか？
$Z(O(2)) = Z_2$ なので (p88),
そのリー環は $\{0\}$ となるが、
$\mathfrak{g}$ は可換リー環なので、
$z(\mathfrak{g}) = \mathfrak{o}(2)$ 、つまり１次元となる。
- p61, 例2.16.
$[A_1^-, A_2^-] = - A_3^-$ であり
$[A_1,A_2]=A_3$ であり、
$f(A_k^-) = A_k$ と定めたとすると、
$f$ はリー環準同型にならないように思う。
どれかに修正が必要では？
- p64, line 3. $U=Y$.
- p64, line -2. $K$ は $K_n$.
- p66, 命題2.8 の２行下の太字。「同型でない」。同型でないことは正しいのだが、「わかった」、と書かれると証明や説明がそこまでに与えられているのかどうかが気になる。
- p68, line 1. $\iota_1, \iota_2$ が登場するが、
添字は1,2ではなく、$\circ, \mathfrak{u}$ だろう。
- p70, line 2. 採り上げる vs 取り上げる。
- p71, 命題2.11 の３行目。左辺の $u_n$ は $\vec{u}_n$。右辺の $\vec{n}$ は $\vec{u}$.
- p71, 命題2.11 の３行目。レイアウト。$\vec{v}$ と $(n\ge 1)$ の間にスペースが欲しい。
- p71, 命題2.11 の６行目の右辺。$(n+1)\vec{u}_n$ は $(n+1) \vec{u}_{n+1}$.
- ７行目。右辺の $\vec{u}_{n+1}$ は $\vec{u}_{n-1}$.
- ８行目。右辺の $\vec{u}_{n+1}$ は $\vec{u}_{n-1}$.
式の成立範囲は $n\ge -1$ ではなく、$n \ge 0$.
- p80, 例3.1.
面白いやり方だと思います。これを見ていると、
一般の $X,Y$ に対して、
$\mbox{tr}(Z \mapsto Y Z X) =\mbox{tr}(Y) \mbox{tr}(X)$ が
導けていると思います。
$\mbox{tr}(Z \mapsto X^2 Z)$ は $Y, X$ がそれぞれ $X^2, E$ の場合。
$\mbox{tr}(Z \mapsto XZX)$ は $Y,X$ がそれぞれ $X,X$ の場合。
と考えられますね。
- p82, 例3.1, line 3. $X^2$ は $X$.
あるいは $X$ は $X^2$.
- p83, line -2 の最後の等号。このままでも間違ってはいないが、$X^2E_{ij}$ を $\sum_l (X^2)_{lj} E_{lj}$ と展開するのであれば、p82 の計算と大差ない。むしろ、line -2 の第３式から
$\sum_{i,j} \langle X^2 E_{ij} \mid E_{ij} \rangle = \sum_{i,j} \mbox{tr}({}^t(X^2 E_{ij}) E_{ij}) = \sum_{i,j} \mbox{tr}(E_{ji} {}^t(X^2) E_{ij})
= \sum_{i,j} ({}^t(X^2))_{ii} = n \mbox{tr}({}^t (X^2))=n \mbox{tr}(X^2)$ と p84, line 2 まで直線的に進むことができる。
- p88 の表。
SU$(n)$ を U$(n)$ の直後に移動したい。
理由：U$(n)$ とSU$(n)$ が近接していると見やすい。
A 型を U$(n)$, SL$(\mathbb{C})$, SL$(\mathbf{R})$ と並べると、
C 型の Sp$(n)$, Sp$(n;\mathbb{C})$, Sp($\mathbb{R}$) という
「compact, complex, split」との並びが揃うので。
- 定義4.3.
$\mathbb{V}_f(\lambda) \subset \mathbb{W}_f(\lambda)$ に言及しておくか。
- p93, line -11 から line -9「$A^m=O$ の両辺、、、矛盾。」。ここはもっと直接、「ところが、$A^m=O$ は逆行列を持たないので、矛盾。」でよいのでは？
- $\lambda_j, m_j$ の添字。
p90, line 1 では $j$ が使われているが、以降の
補題4.1(4)や命題 4.1(5) では $i$ が使われている。
特段の事情がなければ、せめて近い場所では
同じアルファベットを使って欲しい。
- p95 の中程。$Y$ として固有値$2$ の行列の例が与えられているが、なぜ、固有値$0$ の行列にしなかったんだろう？月並みな例を避けたかった？
p95, line -6. 「使ってみよう。」
何をするのに？ 段落の冒頭であるが、
目的が明示的でない印象を受ける。
- p96, line 1 から。p92, line -9 から line -3.
ここでは $f_{N_j}, f_j, f_{S_j}$ の順に導入されているが、
定義の自然さからは $f_j, f_{S_j}, f_{N_j}$ の順ではないだろうか？
- p96, line 1 や line 2 の
$\lambda_r$ は $\lambda_j$. ４箇所。
- p96, line 9, line 14.
$\vec{x}_j$ は $x_j$.
- p98, 問題4.2(1). 近畿大学の記号をひきづっているのかもしれないが、
ここでは文字 $n$ を使いたくない。
（今まで一貫して、$n$ を行列のサイズに使っているので。）
そもそも、行列 $N$ の方は nilpotent としての意味がつくが、
$n$ はなぜその文字を使うのか、意味もはっきりしない。
問題 4.3 でベキに $n$ を使っているので、それとも相性が良くない。
（なお、ダブルスタンダードだが、問題 4.3 の方の $n$ の使用は、習慣的に許されると思う。）
- 命題4.5. \ldots と A_r の間にカンマ。
- p275, line 8. 亨は享。
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