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教科書「線形代数講義」（南和彦）へのコメント
- 1. 行列
- 1.1. 行列の定義、和と定数倍
- 1.1.1. 行列を定義する p1
- 1.1.2. 行列の和とスカラー倍 p4
-- 等しい、和、スカラー倍の３つ。差に関する注意。
- 1.1.3. 特別な行列 p5
-- トレース、単位行列、上三角行列、下三角行列、対角行列、可換群と線型空間。成分に関するコメント
-- p6 クロネッカーのデルタ。２入力１出力。
- 練習問題 1.1. p9
- 1.2. 行列の積
- 1.2.1. 行列の積 p9
-- 一次変換、確率行列、可換、零因子、積の満たす性質
--- 定理1.1(p14) の「自明」の証明。定理1.2(p16)の「自明」の証明。成分を比較する。ビデオ。
- 1.2.2. 特別な行列2 p15
-- 転置行列、対称行列、交代行列
- 1.2.3. 行列の分割 p17
-- 例題1.7(p20) は分割と関係している。他は分割と直接関係していない話題が多い。
-- 可換な行列、行列の多項式、回転行列と三角関数の加法定理、トレース形式が非退化であること
--- 例題1.4(p18). 結果の解釈。結論の式 $x-y+2=0$ が成り立つ時、$X=(x-1)E+A$ となる。
--- 例題1.5(p19). 結果の解釈。得られた行列は、順に $B,4E-3B, 3B-4E, -B$ となっている。なお、$f(x)=x,4-3x,3x-4,-x$ の $x=1$ での値はそれぞれ $1,1,-1,-1$ であり、$x=-1$ での値はそれぞれ $2,-2,2,-2$ である。
--- 例題1.9(p21) p12 と p21で行と列の役割が逆になっているのがわかりづらい。また、(1) の解の成分が $1/n$ となっているが、$1$ にした方が意味が相応しいように思われる。（この $\mathbf{x}$ は確率ベクトルではないので、成分の総和を $1$ にすることの意味が発生しないので。むしろ条件式 $\displaystyle \sum_{j} a_{ij}=1$ に直結するには $1$ の方が良い。
- 練習問題 1.2-1.20 p22-24
-- 問題 1.5(p22) ビデオ。
-- 問題 1.6(p23) 答えが書きづらい問題が多い。プリント。
-- 問題1.8. (2)を先に、(1) を後にするのが良さそう。
-- 問題 1.13. $l$ 乗も求まる。(右下の行列のサイズと冪が一致していることは使わない。)
-- 問題1.16(p24)(2) 特別な $A$ に対しては、$A^n$ が交代行列となるような自然数 $n$ は増えうるが、そこまでの議論は期待されていない問題だと思う。例えば $A=\left(
\begin{array}{cccc} 0 & 2 & i (s+t) & s-t \\ -2 & 0 & i (s-t) & s+t \\ -i (s+t) & -i (s-t) & 0 & 2 i \\ t-s & -s-t & -2 i & 0 \\ \end{array} \right)$ で $s=1/t$ の場合は、($A^3=O$ なので) 「３以上の自然数」が正解になる。
- 1.3 行列の正則性と逆行列
- 1.3.1. 行列の逆行列 p25
- 練習問題 1.21-1.24 p29
- 2. 基本変形
- 2.1. 行列の基本変形
- 2.1.1. 連立方程式と基本変形 p30
- 2.1.2. 基本行列（基本変形を生成する) p32
- 2.1.3. 同値関係 p34
- 2.1.4. 逆行列であるための条件 p35
- 練習問題 2.1-2.3 p38
- 2.2. 行列の階数
- 2.2.1. 階数を定義する p38
- 2.2.2. 階数、基本変形と逆行列 p42
- 練習問題 2.4-2.8 p45
- 2.3. 連立一次方程式
- 2.3.1. 連立一次方程式 p46
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