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原付免許筆記試験方式で学ぶ群論
原付免許筆記試験方式で学ぶ位相空間論
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真偽を判定せよ。
- 位数２の群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数３の群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数４の群は巡回群である。[[答え>ochiai/no]]
- 巡回群の部分群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 巡回群の部分群は正規部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可換な部分群は正規部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの巡回群の直積は巡回群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数４の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数６の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数８の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１０の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１５の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数５の群は位数５の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数６の群は位数６の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数６のアーベル群は位数６の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２のアーベル群は位数１２の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１２の群は位数３の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２の群は位数４の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１２の群は位数４の部分群を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２の群は位数６の部分群を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１５の群は位数６の元は含まない。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１５の群は位数５の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5]$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5]$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,\infty)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- 部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。[[答え>ochiai/no]]
- ２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 全体集合は近傍である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は開集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 群の位数１の元は単位元に限る。[[答え>ochiai/yes]]
- $S_4$ は可換群である。[[答え>ochiai/no]]
- 巡回群は可換群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 群の一つの元から生成される部分群は必ず可換群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 3次正方行列のなす環 $M_3(\mathbb{R})$ では、$A+B=B+A$ が成り立つので、
$M_3(\mathbb{R})$ は可換環である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{Z}$ の単元全体は有限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- $\mathbb{Z}$ は無限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 偶数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 素数でない整数の全体は$\mathbb{Z}$ の部分群である。[[答え>ochiai/no]]
- $S_3$ の「位数２の元の全体と単位元」は部分群である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{Z}$ の自明でない部分群はすべて無限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 無限巡回群は$\mathbb{Z}$ と「同型」である。[[答え>ochiai/yes]]
- $G$ が無限群のときは、部分群$H$ の指数 $(G:H)$ は必ず無限大になる。[[答え>ochiai/no]]
- 可換群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$ は同じ集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 有限群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$は元の個数は等しいが集合としては同じであるとは限らない。[[答え>ochiai/yes]]
[[解説>ochiai/answer]]
- どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。[[答え>ochiai/yes]]
- ２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集合に密着位相を入れた時に、
開集合の個数は同じである。[[答え>ochiai/yes]]
集合論だけど
- 可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可算集合の２個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可算集合の有限個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可算集合の可算個の和集合は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 代数的な数の全体は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 複素数の全体は非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
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