ochiai/yukie1 の履歴(No.13)

雪江明彦「代数学1」日本評論社

講義をした上で気がついた点。
なお、著者自身の正誤表のページあり。そこに反映されているものは # と書きます。
$(a^n)^{-1}= a^{-n}$ これだと定義そのものっぽい。いいたいことは $(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$ か？
# 例2.1.5. $A^\times = A \setminus \{0\}$ と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、$\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ は $\mathbb{Z}^\times$ ではないのだが、ここで挙げられている３つの例からは、そのように誤解する可能性がある。
# 例2.2.4. $M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})$ は「$n\geqq 2$ のときに」非可換。($GL_1(\mathbb{R})$ は可換。)
# 命題2.3.2 の証明の前半。$y=x^{-1} \in H$ は $x^{-1}=y \in H$ と書きたい。
命題2.3.2 の証明の後半。「条件(2) より、群演算が $H \times H \rightarrow H$ という写像を定める」こと、に言及しておきたい。
# 命題2.4.18. $d$ の登場するところで条件 $d>0$ は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、書く必要はない。（改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。）
命題2.4.18. (1) $\Rightarrow$ (2) の証明。$H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \}$ とすると、$H$ は $\mathbb{Z}$ の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 $f \geqq 0$ があり、$H=f\mathbb{Z}$ となる。$d \in H$ なので、「$d$ は $f$ の倍数である」。$d>0$ なので $f\neq 0$ すなわち $f>0$ である。位数の定義($d$ の最小性)より、「$d \leqq f$ である」。以上の２つの「」をあわせて、$f=d$ である。さて、仮定(1) より $n \in H$ なので、$n$ は $f$ の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。コメント：$n$ はこの命題中で固定されているので、$H$ を定義するときの変数としては別の文字を使うべき。また、ここで与えた証明は本質的にこの本の証明と同じだが、「$n=0$ の場合のみなので」の部分で $d$ についての仮定を使っていることを明示してみた。
# 例2.10.6. ２行目. $\rightarrow$ は $\mapsto$.
p71. 問題2.5.2. 第２文の内容は、問題文中ではなく、巻末の解答とヒントのページで述べられる内容と思われる。
# p71. 問題 2.5.3(2) 条件を少し緩めて、$\phi$ は単射でよい。
# p133. 解答 4.2.6. $\cdots$ の両側に２項演算子を配置して、 $\times \cdots \times$ のように書くとよい。２カ所。
# p145. 解答 2.9.5. すべての部分群が正規部分群。たとえば、$\langle i \rangle$ は指数２。

代数学２

p16, 命題 1.3.14 の証明の３行目。$k \rightarrow A$ という写像を $c_{i_1,\cdots, i_n}$に適用する必要あり。
# p25, 定義 1.4.2 の直後。極大イデアルの定義は、後に p33 で登場する。
# p58, 命題 1.11.12 の証明。帰納法はおそらく $n$ に関する帰納法。おそらく $m \ge n$ を仮定している。（そう仮定しなくても帰納法は進行できるが、その場合、証明の４行目の「元である」のところで、「元であり、特に $m\ge 1$ である」と書いておきたい。）また、帰納法の初期ステップ $n=1$ （あるいは、$n=0$）のときの記述が implicit である。
# p63, l2. 「以下、この節の終わりまで、$A$ を一意分解環とする」とあるが、例1.11.41 では$A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ が一意分解環でないことを証明しているので、つごうが悪い。一番いいのは、p66, line 7 から新しい節にしてしまうことであるが、これは目次や演習問題の番号なども変更する必要があり、改訂版では対応しきれないであろう。実際は、「p66, line 6 までは、$A$ を一意分解環とする」とするのが現実的な対応。
p63, 補題1.11.31の冒頭。$f(x) \neq 0$ としておいた方がよい。
# p77, 問題1.3.1(2). $+\cdots+$ のように前後に２項演算子を配置したい。
# p79, 問題1.6.2. $\mathfrak{m}_2$ は極大イデアルではないので、$\mathfrak{m}$ という記号に違和感あり。
# p81, 問題1.9.1. $\rightarrow$ は $\mapsto$. ３カ所。