ochiai/yukie1 の履歴ソース(No.3)

雪江明彦「代数学1」日本評論社
- 講義をした上での注意点
- $(a^n)^{-1}= a^{-n}$ これだと定義そのものっぽい。いいたいことは $(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$ か？
- 例2.1.5. $A^\times = A \setminus \{0\}$ と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、$\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ は $\mathbb{Z}^\times$ ではない。
- 例2.2.4. $M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})$ は「$n\geqq 2$ のときに」非可換。
- 命題2.3.2 の証明の前半。$y=x^{-1} \in H$ は $x^{-1}=y \in H$ と書きたい。
証明の後半。条件(2) より、群演算が $H \times H \rightarrow H$ という写像を定めること、に言及しておきたい。
- 命題2.4.18. $d$ の登場するところで条件 $d>0$ は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、各必要はない。（改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。）
(1) $\Rightarrow$ (2) の証明。$H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \}$ とすると、$H$ は $\mathbb{Z}$ の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 $f \geqq 0$ があり、$H=f\mathbb{Z}$ となる。$d \in H$ なので、「$d$ は $f$ の倍数である」。$d>0$ なので $f\neq 0$ すなわち $f>0$ である。位数の定義($d$ の最小性)より、「$d \leqq f$ である」。以上の２つの「」をあわせて、$f=d$ である。さて、仮定(1) より $n \in H$ なので、$n$ は $f$ の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。
コメント：$n$ はこの命題中で固定されているので、$H$ を定義するときの変数としては別の文字を使うべき。
また、本質的にこの本の証明と同じだが、「$n=0$ の場合のみなので」の部分で $d$ についての仮定を使っていることを明示してみた。