「大学数学ベーシックトレーニング」へのコメント
- p188, line 2-3. $f$ の定義域や値域が正しくないのでは？ $f:(0,\infty)\to(0,1)$ という全単射。
そのほかのコメント
- p152, line 2. この直後に「$b_n$ は $A_n$ の上界である。$a_n$ は $A_n$の上界ではない。」を述べておいた方が良い。(p152, line -9 と, p153, line 1 でそれぞれ用いるために。）
- p158, 真ん中の段落。背理法を使わない議論。$N_0$ を任意にとって固定する。任意の $n \ge N_0$ に対して、$a_n \ge a_{N_0} \gt \alpha$なので、命題22-2より$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \ge a_{N_0}$。
- p158, line -3. $a_{n_0} \lt b_{n_0}$は$a_{n_0} \le b_{n_0}$ であろう。
- p187, 例28-4。$A=B \cup C, X=Y \cup Z$ という交わりのない和集合として書けていて、
$g:B \to Y, h:C\to Z$ という全単射があれば、それを「貼り合わせて」$f:A \to X$ という全単射が作れる、という手法である。
- p214, 演習31-4。一般に全射の写像 $f:X\to Y$ が与えられた時に、その写像のファイバー（１点の逆像）は類別を与えます。個別の事情に立ち入るよりも、この一般論の段階で証明する方が見通しが良いです。いまの場合は、$f=$rank という写像が $\{0,1,\ldots,k\}$ への全射であることを確認することが作業の一つであり、実際、p256の(3)はそれ(全射性)を取り扱っています。
- p254, 演習28-2。$f,g$ の動機が書かれていないが、解答を見に来るような学生には $g(-1)=a, g(1)=b$ や $f(a)=-1, f(b)=1$ から直線の式を決めている、と書き加えると親切。（親切過ぎるかな。）
- p254, 演習28-3。直前の p188, 例28-6 を用いて、$2\mathbb{Z} \sim \mathbb{Z} \sim \mathbb{N}$から、補題28-3(iii) を使った方が、今まで学習したことの復習になることと、技巧的な写像を直接構成することに傾注しなくて良いというメリットがある。
- p254, 演習28-4. $\mathbb{Q}^+$ の処理は、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の部分集合なので、定理28-7(2)を使って、可算集合である、と結論すると綺麗。あとは、$\mathbb{Q}^+ \sim \mathbb{N}$,
$\mathbb{Q}^- \sim - \mathbb{N}$, $0=0$ から、$\mathbb{Q} \sim \mathbb{Z}$. 後は、例28-6 と、補題28-3(iii)。
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