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山本哲朗「行列解析ノート」
- p168, 問題19の別解。
$V:=\mathbf{a}^\perp$ を直交補空間とする。$W:=\{ (\mathbf{b}, \mathbf{u}) \mid \mathbf{u} \in V \}$ は $\mathbb{R}$ の部分空間である。$\mathbf{u} \in V $ に対して、$\mathbf{p} = \mathbf{a} + \mathbf{u}$ とすると、 $(\mathbf{a},\mathbf{p}) = (\mathbf{a}, \mathbf{a}) \gt 0$ となることから条件(P)の仮定を満たすので、結論 $0\lt (\mathbf{b},\mathbf{p}) = (\mathbf{b},\mathbf{a}) + (\mathbf{b}, \mathbf{u})$ が成り立つ。すなわち、$W \subset \{ t \in \mathbb{R} \mid t \gt -  (\mathbf{b},\mathbf{a}) \}$ となる。繰り返しになるが $W \subset \mathbb{R}$ が部分空間なので $W=\{ 0 \}$ である。すなわち、$V \subset \mathbf{b}^\perp$ である。$\mathbf{a}^\perp \subset \mathbf{b}^\perp$ から $\mathbb{R}\mathbf{b} \subset\mathbb{R}\mathbf{a}$ が導かれる。証明終わり。