ochiai/sl2 の履歴(No.15)

SL(2,R)の表現論、朝倉書店

単純な訂正 [全てが読者からの指摘である]

p3, 13行目。「$Z_{M_2}= \{ Y \in Z_{M_2}$」を「$Z_{M_2}(S)=\{ Y \in M_2$」に訂正。補足：line 10 と line 13 の関係は $Z_{M_2}(S) = \cap_{X \in S} Z_{M_2}(X)$.

p7, 補題1.2.9(2) $kan$ を $kna$ に訂正。

p7, 補題1.2.9(4) $ank$ を $nak$ に訂正。

p7, 補題1.2.9 の証明の１行目。「(3) を証明する」を「(4) を証明する」に訂正。

p7, 補題1.2.9 の証明の１行目。「(3) が成り立てば (4) が成り立つ」を「(4) が成り立てば (3) が成り立つ」に訂正。

p8, 補題1.2.11, (1)も(2)も冒頭の $N^-$ を $\overline{N}$ に訂正。この記号は p5 の1行目。

p11, 下から10行目。「上半空間」を「上半平面」に訂正。

p11, 下から9行目「補題1.2.9(3)」を「補題1.2.9(4)」に訂正。

p11, 下から8行目、２箇所の「(3)」をどちらも「(4)」に訂正。

p11, 下から５行目、「$=g$」を「$=gi$」に訂正。

p12, 定義1.3.11(1), 「が成り立つ」を「がすべての $g \in G, x \in X$ に対して成り立つ」に修正。

p12, 定義1.3.11(2), 「が$G$共変である時」を「がすべての $g \in G, x \in X$ に対して$f(gx)= f(x)$ を満たす時」に修正。補足：(2)の設定では $\mathbb{R}$ への $G$ の作用は自明だと見做している。すなわち、この設定では $f(x)=g f(x)$ であるので、そう思うと、(2) は (1) の特別な場合と見做すことは可能である。その気持ちが「特に」である。しかし、それは標準的な定義の仕方ではないので、訂正後は普通に書いた。

p14, 補題1.3.17(3)(4)(5) の「$\mathbb{R} \times$」を削除。合計３箇所。

p14, 補題1.3.17(4) $M_2^{\text hyp}$ を $G^{\text hyp}$ に訂正。

p14, 補題1.3.17(5) $M_2^{\text par}$ を $G^{\text par}$ に訂正。

p14, 例1.3.18, ２行目。「$x\lt 0$ ならば楕円型」を「$-2 \lt x \lt 0$ ならば楕円型」に訂正。補足：なお、$x=-2$ ならば双曲型、$x \lt -2$ ならば双曲型である。ここまで書きたいところだが、行を増やさないと入らない。

p14, 下から１行目。「正定値、負定値」を「定値、不定値」に訂正。

p15, 定義1.3.20。冒頭に「$I_{1,2}=\mbox{diag}(1,-1,-1)$ とする。」を追加する。補足：定義が抜けていたので、追加。

p17の１行目では、行ベクトル $(x_2,x_3, x_4) \in \mathbb{R}^3$ に対して、右から３次の行列$g$ をかけているが、３行目の $gx$ では、列ベクトル $x$ に左から行列 $g$ をかける計算をしてしまっていて、齟齬が生じている。誤り。ベクトルは列ベクトルを用い、行列は左からかける、という姿勢で一貫するように全体を修正する。以下の定義1.3.20, 補題1.3.21(1) は誤っているわけではないが、以下の方に変更しておいた方が説明が一貫するので変更する。

p15, 定義1.3.20, ２行目。「$g I_{1,2} \! {}^t g$」を「${}^t g I_{1,2} g$」に変更。

p15, 補題1.3.21(1)。$\mathbf{x} =(x_2 \ x_3 \ x_4)$ を $\mathbf{x} = {}^t \! (x_2,x_3,x_4)$ に変更。「$\mathbf{x} I_{1,2} {}^t \! \mathbf{x} = \mathbf{x} g I_{1,2} \! {}^t g {}^t \! \mathbf{x}$」を「${}^t \! \mathbf{x} I_{1,2} \mathbf{x} ={}^t \! \mathbf{x} {}^t \! g I_{1,2} g \mathbf{x}$」に変更。

p16, 下から１行目。$X$ の定義の右辺。「$(x_2,x_3,x_4)$」を「${}^t \!(x_2,x_3,x_4)$」に修正。

p17, １行目。「$(x'_2,x'_3,x'_4) = (x_2,x_3,x_4) g$」を「${}^t \!(x'_2,x'_3,x'_4) = g \mathbf{x} = g {}^t \!(x_2,x_3,x_4)$」と訂正。

p17, ３行目の左辺「$(gx)_2$」を「$(g \mathbf{x})_2$」に訂正。補足：これは間違っているので訂正。

p17, ８行目。「$(1,0,0)$」を「${}^t\! (1,0,0)$」に修正。転置に伴う修正はここまで。

p17, 6行目。「$\ge$」を「$=$」に訂正。「$c^2$」を「$1$」に訂正。

p18, ６行目。「$(x_2,x_3,x_4)^T, (x'_2,x'_3,x'_4)^T$」を「${}^t \! (x_2,x_3,x_4), {}^t \!(x'_2,x'_3,x'_4)$」に修正。補足：２通りの転置の記号を統一。

p18, 中程、「例えば」の次の行の行列の右辺の $a$ をすべて $a^2$ に置き換える。８箇所。補足：なお、左辺の２箇所の $a$ はそのままで変更しない。

p21, 命題1.3.25(4)と(5)。「二つの軌道」ではなく「三つの軌道」。軌道の代表は (4) では「$n_1, n_{-1}$ をとる」、(5)では「$-n_1, -n_{-1}$ をとる」に訂正。さらに、「後者の固定部分群は」と「$MN$である」の間に「二つの軌道のどちらも」を補う。補足：補題1.3.24(3)。

p24, 例1.4.7 (1)「である」の前に「の整数倍の全体」を補う。補足：そうすると１行増えてしまうので、一つ前の行の「部分群に関しては」を「部分群は」とし、「性質が成り立つ」を「性質を持つ」に修正し、その文を２行から１行に収める。

p24, 補題1.4.8 の証明。１行目、３行目、４行目、５行目の $n_1$ を $E_{12}$ に変更する。補足：記号 $n_1$ は補題1.2.7 で $I_2 + E_{12}$ の意味に用いているため、紛らわしいため変更する。

p24, 補題1.4.8 の証明の５行目。$n_2$ を $E_{12}$ に訂正。補足：つまり、この辺りの $n_1$ も $n_2$ もどちらも $E_{12}$ に修正。

p25, 下から４行目。２箇所の $n_1$ を $E_{12}$ に修正。

p25, 下から２行目。３箇所の $n_1$ を $E_{12}$ に修正。

p26, 1.5.1 節の２行目。$SL(2,\mathbb{C})$ の定義の右辺の $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ の後に「$, ad-bc=1$」を付け加える。

p26, その次の行。$SL(3,\mathbb{C})$ を $SL(2,\mathbb{C})$に訂正。補足：一般に $SL(n,\mathbb{C})$ の複素多様体としての次元は $n^2-1$ である。その $n=2$ の場合。

p30, line 1, 「中心」の直後の「n」を削除。

p35, 15 行目。「$W \to U$」を「$V \to U$」に訂正。「$V \to U$」を「$W \to U$」に訂正。

p47, 寄り道3.1.5の１行目。$K$を$\Lambda$に訂正。

p47, 定義3.1.6 の後半。「すべての $\lambda$に対して、$\dim V_\lambda$ が有限」と加筆した方が親切でした。

p47, 定義3.1.9. 「認容」を「容認」に修正。
p47, 補題3.1.10 (1)の証明。p48 の２行目３行目４行目の $n$は不要で、$n=1$ としたもののみを用いて証明する。５行目の６箇所の$\overline{V}$ は全て $V$に変更する。

p48, 命題3.1.11 の 1行目の右辺の $v$ を $v_{\lambda_0}$ に訂正。

p48, 命題3.1.11 の６行目の右辺の $\lambda$ を $\lambda_0$ に訂正。

p49, 定義3.1.13の２行目。 $Z(\frak{sl}_{2})$は$Z(U(\frak{sl}_{2}))$に訂正。補足：間違えてしまった事情を書くと、ある分野では、例えば「松本久義 Enveloping algebra 入門 p17, p22」などでは $Z(U(\mathfrak{g}))$ を $Z(\mathfrak{g})$ と略記してしまう。ただし、私の本の設定・状況では、そのような略記号を使うべきではなかった。
p49, 補題3.1.14 の証明の冒頭。「$A=\mbox{End}_{\mathfrak{g}}(V)$ と置く。」を「$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2, A=\mbox{End}_{\mathfrak{g}}(V)$ と置く。」に変更。

p54, 定義3.2.2の３行目の括弧の直後のピリオドを括弧の中に入れる。補足：長い括弧が読みづらいので本来は脚注または別置した方が読みやすい。

p54, 定義3.2.3の２つ目の項目の「$\overline{W}(\lambda,\mu)$」を「$\overline{W(\lambda,\mu)}$」に訂正。

p59, 補題3.2.13 の２行上。$\nu-$ を $\nu^-$に訂正。つまり、上付き添字に訂正。

p63, 補題3.3.2 の４行目を削除。補足：そもそも $j=-1,-2,\ldots$ に対する $v_{\lambda_0+j}$ を定義していないので。

p63, 補題3.3.2 の証明の下から６行目４行目３行目の $\lambda$ を $\lambda_0$ に訂正。

p64, 命題3.3.5 とその直前の $(\lambda,\mu)$ を $(\mu,\lambda)$ に訂正。合計六箇所。

p65, 命題3.3.7(1) の２行目の$(\lambda,\mu)$ を $(\mu,\lambda)$ に訂正。合計２箇所。

p66, １行目。「$\sum_{k=0} \mathbb{C} v_k$」を「$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{C} v_k$」に訂正。

p66, ３行目。「規約」を「既約」に訂正。

p67, 定義4.1.1. 冒頭に「$V$を線型空間とする。」を加筆。

p69, ７行目。『なので、(4.4)かつ(4.5)$\Leftrightarrow$ (4.6)かつ(4.7)$\Leftrightarrow$ (4.7) $\Leftrightarrow$ (4.2)』を『なので、「(4.4)かつ(4.5)」$\Leftrightarrow$ 「(4.6)かつ(4.7)」$\Leftrightarrow$ (4.7) $\Leftrightarrow$ (4.2)』と修正する。すなわち、括弧を２組補う。

p69, 下から７行目。「$v,w \in V$ を固定する。」を削除。補足：固定すると、次の行で定義する $G'$ が群にならないので、議論が不都合である。

p69, 下から６行目の式の右辺の括弧の中、「$|$」と「$\langle gv,gw \rangle$」の間に「すべての $v,w \in V$に対し, 」を追加する。

p69, 下から４行目。「$X \in \mathfrak{su}(1,1)$ を一つ固定し」を「$v,w \in V$ と $X \in \mathfrak{su}(1,1)$を固定し」に変更。

p69, 下から４行目の「$t \in \mathbb{R}$ に対して」を削除して、下から３行目の式の末尾に「空白を入れて $(t \in \mathbb{R})$」を追加する。補足：原文のままでは下から４行目がはみ出すため、窮余の措置。

p70, 下から２行目。「不変内積」を「以下の値は」に変更。補足：内積ではなくて半線形形式であるという設定でした、この補題は。そして、内積の場合は内積の値のことを単に内積と呼ぶことがあり得るが、半線形形式の場合には値を指す感じがしないので、「値」に修正することにする。

p122, 下から２行目。$X^D$ は $X^0$.

p142, 式(A2.5) の２行とも、右辺の積分区間の上端「$s$」を「$x$」に訂正。

p143, 式(A2.7) の右辺。$f(x)$ を $f(t)$ に訂正。

p152, ２行目。右側の式の左辺 $[a,\lambda]=\lambda [a,b]$は$[a,\lambda b]=\lambda [a,b]$に訂正。

p155, 参考文献[14]の「礼二」を「礼司」に訂正。

p155, 参考文献[23]の「線形代数概説、培風館(2006)」を「代数学１　群論入門、日本評論社(2010)」に訂正。補足：[23] は p134, 2行目で引用した。

内容的な補足や質問に対する回答（部分的な回答や暫定的な回答の場合もある）

p4, 補題1.2.4(2) の $=K$ の等号の証明に関する補足。このwebpage では行列が書きづらいので、p5 の３行目の行列 $w$ を借用すると、$\{ c_1 k + c_2 I_2 \mid c_1, c_2 \in \mathbb{R} \} = $\{ s w + c I_2 \mid c, s \in \mathbb{R} \}$ を用いる。

p5の４行目。一般に、群$G$の中の部分集合 $X$ と元 $g$ に対して、$gX=\{ gx | x \in X\}$ と定める(なお、このような「集合と元の積」の記号の定義を本では書き忘れました、ごめんなさい)。すなわち、ここの $wNw^{-1}$は $=\{ w n w^{-1} \mid n \in N\}$ という「集合」である。補題1.2.7 の記号を先取りすると、$N=\{ n_x | x \in \mathbb{R} \}$ であり、元の積として $w n_x w^{-1} = \overline{n}_{-x}$ と計算できるので、集合 $w N w^{-1} = \{ \overline{n}_{-x} | x \in \mathbb{R} \} = \{ \overline{n}_{x} | x \in \mathbb{R} \} = \overline{N}$ が示せる。[読者からの質問への回答]

p10, 補題1.3.8 の最後の文。[読者からの指摘]「単純推移的」の定義が抜けている。補足：ついでに「主等質空間」という言葉遣いとの同値性にも触れることができる。補題1.3.8から出して、別の補題として書くべき。[将来的な課題]

p11, 例1.3.9 の１行目に登場する $GL(2,\mathbb{C})$ は、後方の p28の定義1.5.5 で定義されている。

p17, line -4 の $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ は、ここまでに定義されていない。p23, line 1 で与えられるものをここでは定義と理解してほしい。補足：説明が前後することになってしまうが。

p18, 中程。行列$\tau(g)$ の右辺の (2,2) 成分の括弧はなくても良いが、あっても間違いではないのでこのままにしておこう。

p23, 例1.4.4 の $A$ のリー環。２重数を使ったリー環の定義は代数群の場合にしか適用できないので、p2で定義したリー群 $A$に現れる「条件 $a\gt 0$」という不等式をうまく解釈できない(つまりここでの説明に不備がある)。ここでは、反則だが、$\varepsilon$ は十分に絶対値が小さい実数だとみなすと $1+\varepsilon\gt 0$ である、という、実数の位相における連続性に相当する「解釈」をすることで、リー環の計算に条件 $a\gt 0$ が現れないと解釈することにしよう。苦し紛れ。 [読者からの指摘への回答]

p25, 命題1.4.10. 登場する群の定義がここまでに済んでいないものが多数ある、という不備がある。$SL(2,\mathbb{C})$ はp26。$GL(2,\mathbb{R}), GL^+(2,\mathbb{R})$, $GL(2,\mathbb{C})$ は p28の定義1.5.5。$PSL(2,\mathbb{R})$ は p29 の下から６行目。 $PGL(2,\mathbb{C})$ は p29 の下から７行目。

p25, 命題1.4.10(2)の証明の４行目。「$MA$ が指数写像の像に入る」ことの説明。$\exp(c_2 I_2 +\pi J)=-e^{c_2} I_2$ よりも、 $\exp(t I_2 + \pi J) = - a_t \in MA$ と書いた方が、直接的だった。[読者からの指摘への回答]

p34, 2.1 節の最後の文「リー環の定義はA3.5.1で与えた.」。この文の背景として、ここまでの2.1節で登場したリー環は、正方行列の全体のような結合代数やその部分線型空間として実現されるものだけしか扱っていない、という「後ろめたさ」がある。必ずしも述べなくても良いような気もしてきたが、その後ろめたさの解消として、必ずしも結合代数から始まらないような「一般の」リー環の定義を付録のA3.5節で与えた、という含意をこのように短く書いてしまったので伝わりづらいと思う。[読者からの指摘への回答]

p42, 寄り道2.4.5の６行目。[読者からの質問] 「$\rho(A)w=0$」ではなく「$\rho(A)w=w$」か？ [それに対する回答] 「$\rho(A)w=0$」が正しい。ここでの説明が不足しているので説明を追加する。「元 $w$ が不変」という言葉遣いを文脈依存で、やや曖昧に用いる習慣である。すなわち、群で不変の場合は $g.w=w$ という条件であるが、それを微分した役割に相当する「リー環で不変」という場合には $g.w=w$ ではなくて $g.w=0$ という条件である。補足：１変数関数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が定数関数であることと $f'=0$ であることが同値、という事実から説明できることである。

p46 一般固有ベクトルを「一般固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」ではなく、「固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」と呼ぶ理由は、補題3.1.3 に述べた。すなわち、一般固有ベクトルが存在する$\lambda$ は必ず固有値にもなっている。[読者からの質問への回答]

p48, 命題3.1.11 の証明の最後。$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbb{C} v_{\lambda_0+2k}$ がウエイト加群であることの証明には、カシミール元がスカラー$\mu$ で作用することは使わなくて良い。したがって、この命題を「さらに」の前半と後半で分けて、それぞれの主張を分けて書いた方が、どの性質がどこから従うかの責任の所在がはっきりする。[読者からの質問への回答]

p49, 定義3.1.13。第２文を以下のように加筆する：なお $Z(U(\mathfrak{g}))$ の各元がスカラーで作用する表現を「無限小指標を持つ」と言う。この言葉遣いを用いるとき、$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ の場合には...(以下は本文)。[読者からの指摘への回答]

p49, 補題3.1.14の証明の最後の段落の２行目。「全射である」ことを言い換えると、$V=U(\mathfrak{sl}_2) v$ が成り立つ。このような $v$ のことを $V$ の cyclic vector と呼ぶことがある。一般に、既約表現の零でないすべての元は cyclic vector である。

p57, 下から２行目。「中国式剰余定理より」。それよりも次のような簡明な議論(Lagrange 補間)で証明すべきだった。 (i) $A$ を $\mathbb{C}$ の有限部分集合とする。$a_0 \in A$ に対して、１変数多項式 $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ を $f(x) = \prod_{a \in A, a \neq a_0} \frac{x-a_0}{a-a_0}$ と定める。この時、$f(a_0)=1$ であり、すべての $a \in A, a\neq a_0$ に対して $f(a)=0$ である。 (ii) 定義3.1.1 のように $h:V\to V$ が与えられている設定を考える。$w \in \oplus_{a \in A} V_a$ と書けている、すなわち、複素数 $c_a$, $v_a \in V_a$ を用いて $w=\sum_{a \in A} c_a v_a$ と書けているとする。この時、$V \ni f(h) w = \sum_{a \in A} c_a f(h) v_a = c_{a_0} v_{a_0}$ である。 (iii) この議論を $V$ が $W'$ の時に用いる。[読者からの質問への回答]

p154, A3.6.5の証明。ここでの説明は感覚的なものにとどまっている(後でゆっくり考えるが。)。例えば、$e^+ f(C,h)=f(C,h)e^+=e^+ f(C,h+2)$から$f(C,h)=f(C,h+2)$ と帰結している流れだが、その議論だと、普遍包絡環は零因子がないことを断らずに密輸している。 [読者からの指摘への暫定的な返答]

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