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熊原啓作「入門複素解析１５章」日本評論社
- 講義をした上での注意点
- page 20, line 9. まちがいではないが、「よぼう」は「呼ぼう」
- page 23, 下部。$\left| \text{Re} z \right| \le \left| z \right|$,
$\left| \text{Im} z \right| \le \left| z \right|$ を付記しておく。教科書では p26 で使われている。
- page 24, 定理 2.5(2) の証明。page 22 で複素数平面での和の意味を与えているので、平面の三角形の性質から従う、と述べて、講義では証明を省略しても良い。
- page 28, line -4. $z_1+z_2$ は $z_1z_2$. なおこの作図の前辺りに、$\text{arg}(z_1z_2) = \text{arg} z_1+\text{arg} z_2$ を書いておきたい。
- page 33, line 7, $e^{i\varphi}$ はp73 まで扱われないので、$\cos\varphi + i \sin \varphi$ と書く必要あり。
- page 35, line -10. 「したがって」。前段落の帰結ではなく、$d(0,\beta)=d(0,f(\beta))$ であるという理由に基づく。
- page 107, 問題5. p103 例8.3 の精神に基づけば、まず、$P(z)=(z-z_0)^m$ のときに、目的の式を示すことにするという方針が自然である。線積分の練習問題としては、ここで円周をパラメータ表示すれば、２項定理を援用することなく、結論が得られる。また、$C$ 上で $\overline{z-z_0} = \dfrac{r^2}{z-z_0}$ であることに気がつけば、$\int_C \overline{P(z)} dz= r^{2m} \int_C (z-z_0)^{-m} dz = r^2 \times 2 \pi i \delta_{m1}$ となる(最後の等号は例 8.3 である)。
- page 119. 定理 9.7. １行目の $\overline{U_R(z)}$ は $\overline{U_R(\alpha)}$.
また、２行目の $\left| f(\zeta) \right|$ は $\left| f(z) \right|$ の方がよい。
- page 122, 定理 9.11(2). $D-C$ は page 3 の記号の使い方によれば、 $D\setminus C$.
- p127, 定理 10.3 の証明。最初の文と４行目の文に重なりがある。すなわち、最初の文を生かすのであれば、４行目の「$h(z_n)=0$ から」は「$f(z_0)=g(z_o)$ より」と言える。あるいは、最初の文を丸ごと削除して、４行目の「$h(z_n)=0$ から」を「$h(z_n)=0$ から、$n\to\infty$ とすれば、連続性より」に置き換えることもできる。後者の扱いが好ましいと思う。なお、この部分の主張、「$h(z_0)=0$」は、ここに挙げられている証明には必要ではない。実際、もしも $h(z_0)\neq 0$ だったとしても、因数定理を使うところで、$m=0$ として、該当の式(証明の６行目)が成立している。あとは証明の終わりまでこの仮定を使うところがない。
- p127, 定理 10.3 の証明の３行目。「ある $z \in U_R(z_0)$ で $h(z) \neq 0$」と仮定しているが、このような $z$ を固定している訳ではないことに注意。(例えば、証明の６行目や７行目。)
- p131, 定理 10.7 の２行目。「滑らから」は「滑らかな」
- p145, 証明の４行目。「$\varphi(z)$ は $\left| z-z_0 \right| < r_2$ で正則」の理由は、定理10.9(p132).
- p145, 証明の４行目。「$\varphi(z)$ は $\left| z-z_0 \right| \lt r_2$ で正則」の理由は、定理10.9(p132).
- p146, line 7, $d_n$ の式の右辺の分母の指数は $n+1$ ではなく、$n+2$.
- p146, line 10, $c_{-n}$ の式の右辺の分母の指数は $n+1$ ではなく、$-n+1$.
なお、この表記法は講義しづらいので、 ７行目の $\Psi(Z)$ の展開式のrunning index を $m$ のように別の文字にしておく方が対応がとりやすい。
- p149, 補題の直前の qed マーク。証明された主張が独立して書かれていないが、
「$0<\left| z-z_0\right|<R$ で正則な関数 $f(z)$ に対して、
「$0\lt\left| z-z_0\right|\lt R$ で正則な関数 $f(z)$ に対して、
$z_0$ が $f(z)$ の極であることと、$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$ は同値。」であろう。
- p150, line 5. 「したがって」の理由は、p149-150 で証明した事実。
- p150, line 6. $g(z_0) \neq 0$ を付記しておく必要がある。(９行目で極であると結論するため。)
- p150, 定理 12.3. 文脈からは明らかではあるが、囲みの中だけを読んだときに不十分であると感じるため、「$z_0$ が $f(z)$ の真性特異点のとき」と入れておきたい。
- p150, 定理12.3 の証明。$\lambda = \infty$ の時の証明が与えられていない。$\lambda=\infty$ のときの定理の主張は、リーマンの定理12.2そのものである。このことは、慣れていない学生にとってそれほど当たり前でないので、言及する価値はある。
- p164, line -5. $x=i$ は $z=i$.
- p187, 15.3 節の最後の行。「両辺が...での正則性から」は「両辺の... での正則性から」あるいは「両辺が...で正則であることから」
- page 197から。演習問題の解答に、問題のページが記載されているのがとても便利。
- page 198, 演習問題 2.3(2). $z-2i$ がたまたま実軸上に乗っているのは misleadingなので実軸上からずらした方が better.
- page 200, 演習問題 4.5 の解答。$\alpha$, $\beta$ のいずれかが負の整数の場合は、（多項式となるので）収束半径は無限大。
- page 201, 演習問題5.5, 5.6 の解答で、得られた級数を、指数関数や三角関数と同定している。この式は、示唆的でよいのであるが、この問題を解く段階（５章まで講義が進んだ段階）では、まだ、６章の内容を仮定できないので、演習の答えとしては、その前の部分までを学生に要求することとなる。（答えを丸写しする受講生に注意。）
- p203, 演習問題 9.1(2) の答えは$-\pi$ ではなく、$\pi$.
