原付免許筆記試験方式で学ぶ群論の解答です。
原付免許筆記試験では、Yes/No だけを書くのですが、Yes/Noだけを書いていくと、番号がずれたりして間違いが生じやすいので、文章で書きます。
- 位数が素数の群は巡回群である。特に位数が２や３の群は巡回群である。
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は位数４の群であるが、巡回群ではない。
- 巡回群の部分群は巡回群である。巡回群の商群も巡回群である。
- アーベル群の部分群は正規部分群である。巡回群はアーベル群である。従って、巡回群の部分群は正規部分群である。
- ３次対称群の位数２の元を一つ取り、それで生成される部分群を考える。この部分群は可換群であり、正規部分群でない。
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は２つの巡回群の直積であるが、巡回群ではない。
- 位数４の群は、巡回群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ か $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のいずれかに同型である。したがって、アーベル群である。より一般に素数の２乗の位数を持つ群はアーベル群である。
- ３次対称群$S_3$は位数６の群であり、アーベル群でない。
- ４次の２面体群（正方形でできた厚紙のなす対称性）は位数８の群であり、アーベル群でない。
- ５次の２面体群（正５角形の厚紙をその厚紙に写す変換全体）は位数１０の群であり、アーベル群でない。
- シローの定理の応用として、位数が１５の群がアーベル群であることがわかる。（非自明）
- 位数が素数の群は巡回群であるから、位数が５の群は巡回群である。したがって、位数５の元を含む。
- ３次対称群は位数６の群であるが、位数６の元を含まない。
一般に位数$n$の群が位数$n$の元を含めば、その群は位数$n$の巡回群である。
- 位数６のアーベル群は巡回群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ に同型である。従って、位数６の元を含む。
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$は、位数１２の群であり、位数12の元を含まない。
- 位数１２の群の３シロー群の位数は３である。位数３が素数なので、巡回群であり、位数３の元を含む。
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$は、位数１２の群であり、位数４の元を含まない。
- 位数１２の群の２シロー群の位数は４である。したがって、位数が４の部分群が必ず存在する。
- ４次交代群は指数２の部分群を含まない。４次交代群の位数は $4!/2=12$ である。したがって、位数１２の群で位数６の部分群を含まないものが存在する。なお、最初の主張は例えば、次のより一般的な事実から導くことができる。正規部分群による剰余群が可換群であれば、その正規部分群は交換子群を含む。４次交代群の交換子群はクラインの４元群である。４次交代群の中でのクラインの４元群の指数は３である。従って、４次交代群の正規部分群で、指数が素数となるものは、クラインの４元群に限られる。
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