ochiai/quiz3 の履歴(No.3)

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- 1 (2016-05-27 (金) 05:47:02)
- 2 (2016-05-27 (金) 08:51:56)
- 3 (2016-05-27 (金) 09:23:44)
- 4 (2016-06-26 (日) 07:46:05)

原付免許筆記試験方式で学ぶ環論

このページには遊びの内容しか含まれていませんので、このページの内容は自由に転載してかまいません。できれば、ここから引用した、と出典を書いていただくとうれしいですが、それも必ずしも守られなくてもかいません。また、このページに誤りがあることによって単位が取れなくて卒業できなかったなどの損害の責任を負うことはできませんが、可能な限り間違いは正していきますので、もし見つけたらご一報ください。（落合啓之）

真偽を判定せよ。

$\mathbb{Z}$ は整域である。答え
体は整域である。答え
整域は体である。答え
$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ は整域である。答え
零因子はべき零元である。答え
べき零元は零因子である。答え
べき等元は単位元である。答え
単位元はべき等元である。答え
0 はべき等元である。答え
整域のべき等元は0 と単位元のみである。答え
べき等元は単位元である。答え
べき単元は単元である。答え
単元はべき単元である。答え
$\mathbb{R}$ には単元が無限個存在する。答え
体の単元全体は群をなす。答え
可換環の単元全体は群をなす。答え
$( 2,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は素イデアル。答え
$( 2,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアル。答え
$( 10,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は素イデアル。答え
$( 10,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアル。答え
素イデアルは極大イデアルである。答え
極大イデアルは素イデアルである。答え
イデアルは部分環である。答え
部分環はイデアルである。答え
部分環の部分環は部分環である。答え
行列環 $M_2({\mathbb{R}})$ の左イデアルは無限個ある。答え
$M_2({\mathbb{R}})$ の両側イデアルは無限個ある。答え
$M_2({\mathbb{Z}}/(2))$ の左イデアルは５個ある。答え
$\mathbb{Z}$ を係数とする１変数多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ では、２つの多項式の積の次数は次数の和である。答え
$\mathbb{Z}[x]$ では、２つの多項式の和の次数は次数のうちの大きい方である。答え
$\mathbb{Z}/(4)$ を係数とする１変数多項式環では、２つの多項式の積の次数は次数の和である。答え
元の個数が２個の環は体。答え
元の個数が３個の環は体。答え
元の個数が４個の環は体ではない。答え
標数が２の体は ${\mathbb{Z}}/(2)$ と同型である。答え
有限環は体。答え
有限整域は体。答え
整域の素元は既約元。答え
整域の既約元は素元。答え
一意分解環の既約元は素元。答え
一意分解環の素元は既約元。答え
単項イデアル整域は一意分解環。答え
一意分解環は単項イデアル整域。答え
ユークリッド環は単項イデアル整域。答え
単項イデアル整域はユークリッド環。答え
単元は、部分環の単元でもある。答え
部分環の単元なら、単元。答え
零因子は、部分環の零因子でもある。答え
部分環の零因子なら、零因子。答え
環準同型写像の核はイデアル。答え
環準同型写像の像はイデアル。答え
環準同型写像の像は部分環。答え
$\phi: \mathbb{C}[x,y] \rightarrow \mathbb{C}[t]$ を $\phi(f)(t) = f(t^3,t^2)$ によって定まる環準同型とする。 $\phi$ は全射である。答え
$\phi$ の像は正規である。答え
$\phi$ の核は単項イデアルである。答え
$\phi$ の核は素イデアルである。答え
$\phi$ の核は極大イデアルである。答え
$(x^2+1,3) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアルである。答え
$(x^2+2,3) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアルである。答え
$\mathbb{C}[x, 1/x]$ は単項イデアル整域である。答え
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は一意分解環である。答え
なるべく異なった環を５つ挙げよ。（これは運転免許筆記試験の出題形式ではありません。）

解説(未作成) 部分環が単位元を含むかなどの流儀に関しては、雪江「代数学２」に基づいています。質問の内容は、2012,2013の講義や演習から拾ったものです。